高校生にも分かるカントール集合入門
集合論を創設した Georg Cantor の名前から付けられた，Cantor 集合というものについて研究しています。これはその性質からいうと，「コンパクト 全不連結 完全 距離化可能空間」 というものになります。ずいぶん難しそうな言葉ですが，高校生の方々にとっても，そんなに難しくないかも知れません。それでは，順次解説して行きましょう。おおまかな話で，申し訳ありませんが。
まず，「コンパクト」 ですが，この場合は，点列をとったとき，どこかに集積する（何も無いところを目指さない）ということです。例えば，実数全体で，点列を１，２，３，・・・ と続けて行くと，何も無いところを目指すものが取れます。（無限の彼方へ飛んで行く。） しかし，線分 ［０，１］ や， 縁の付いた正方形 では，こんなことはできませんね （図１）。 無限回点を取ると，どこかに無限回点達が集まった点が，少なくともひとつ出来ます。 線分［０，１］や縁の付いた正方形のような空間 （数学では３次元でなくても空間といいます） をコンパクトと言います。
正方形は繋がっていますが，この一部を除いて，縁の付いた２つの部分に分けてみましょう（図２参照）。これでもコンパクトです。
これらを更に２つに分けて行きます。どんどん分けていって，ひとつひとつが面積も長さも無いようにして行きます（図３）。 この極限が 「全不連結」 ということです。
こんなふうに２つに分けて行くと，孤立した点（図４参照）というものも存在しないことになるでしょう。 この孤立した点が存在しないというのが， 「完全」 と言われます。 こうして出来た極限の部分には，もともと平面上の距離がありますから，距離を考えることができます。 距離を考えることが出来るというのが， 「距離化可能」 ということです。
これで全部の説明を終わりますが，こんなふうにCantor集合のことを紹介すると，異論があるかも知れません。本当のCantor集合は，線分［０，１］から真ん中の３分の１を 縁を残して 抜きます。これを繰り返してできる図（図５参照）で，全体の長さは０の集合です。
